О разделе

Что здесь собрано

Этот сайт собирает ВСЕ формулы с периодом \(T\), частотой \(\nu\) и \(\omega\) из всех разделов физики ЕГЭ. Здесь механические маятники, LC-контур, движение по окружности, заряд в магнитном поле, волны -- всё в одном месте.

Колебания и волны проверяются в заданиях 6, 14, 17, 21, 25, 26 ЕГЭ по физике. Это один из самых формулоёмких разделов: легко запутаться, какой период от чего зависит.

Проверяемые темы

Гармонические колебания, характеристики
Математический и пружинный маятники
Энергия механических колебаний
Движение по окружности как периодическое
Колебательный LC-контур, формула Томсона
Энергия электромагнитных колебаний
Переменный ток, действующие значения
Заряженная частица в магнитном поле
Механические и электромагнитные волны
Аналогии и фазовые соотношения

Все периоды в одном месте

Главное, что нужно знать для ЕГЭ

1

Математический маятник

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\)

↓

2

Пружинный маятник

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\)

↓

3

LC-контур (Томсон)

\(T = 2\pi\sqrt{LC}\)

↓

4

Движение по окружности

\(T = \dfrac{2\pi R}{v}\)

↓

5

Заряд в магнитном поле

\(T = \dfrac{2\pi m}{qB}\)

Гармонические колебания

Уравнения движения

Гармоническими называются колебания, при которых физическая величина изменяется по закону синуса (или косинуса):

\[x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)\] \[v(t) = A\omega\cos(\omega t + \varphi_0)\] \[a(t) = -A\omega^2\sin(\omega t + \varphi_0)\]

Где:

\(A\) -- амплитуда (максимальное отклонение от положения равновесия)
\(\omega\) -- циклическая частота (рад/с)
\(\varphi_0\) -- начальная фаза
\((\omega t + \varphi_0)\) -- фаза колебаний

Связь характеристик

\[T = \frac{2\pi}{\omega}, \quad \nu = \frac{1}{T}, \quad \omega = 2\pi\nu\]

Максимальные значения скорости и ускорения:

\[v_{\max} = A\omega, \quad a_{\max} = A\omega^2\]

Проще: тело качается туда-сюда по закону синуса. Период -- время одного полного качка. Амплитуда -- максимальное отклонение от центра. Чем больше \(\omega\), тем быстрее качается.

Связь x, v, a через амплитуду

Из уравнений следует важное соотношение (убираем время):

\[v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)\]

Это позволяет находить скорость при любом отклонении \(x\) без знания времени.

Мини-задача

Амплитуда колебаний \(A = 0{,}02\) м, циклическая частота \(\omega = 10\) рад/с. Найдите максимальную скорость \(v_{\max}\) (в м/с).

Показать решение

\(v_{\max} = A\omega = 0{,}02 \cdot 10 = 0{,}2\) м/с.

Визуализация гармонических колебаний

Наблюдайте, как связаны смещение, скорость и ускорение.

Математический маятник

Период математического маятника

Математический маятник -- материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной \(l\).

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\]

Зависит от: длины нити \(l\), ускорения свободного падения \(g\).

НЕ зависит от: массы груза, амплитуды (при малых колебаниях).

Проще: длинный маятник качается медленно, короткий -- быстро. Масса груза не важна! На Луне (\(g\) меньше) маятник качается медленнее.

Типичные ситуации на ЕГЭ

Маятник в лифте: если лифт ускоряется вверх, \(g_{\text{эфф}} = g + a\) -- период уменьшается
Лифт ускоряется вниз: \(g_{\text{эфф}} = g - a\) -- период увеличивается
Маятник на другой планете: подставляем \(g\) планеты
Нить укоротили в 4 раза: \(T\) уменьшился в 2 раза (\(\sqrt{4} = 2\))

Мини-задача

Длина нити маятника \(l = 1\) м, \(g = 10\) м/с\(^2\). Найдите период \(T\) (в с). Считайте \(\pi \approx 3{,}14\).

Показать решение

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{1}{10}} = 2\pi \cdot 0{,}316 \approx 2{,}0\) с.

Пружинный маятник

Период пружинного маятника

Пружинный маятник -- тело массой \(m\) на пружине жёсткостью \(k\).

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

Зависит от: массы тела \(m\), жёсткости пружины \(k\).

НЕ зависит от: амплитуды, ускорения свободного падения \(g\).

Проще: тяжёлый груз на мягкой пружине качается медленно. Лёгкий на жёсткой -- быстро. Амплитуда и \(g\) не влияют!

Разрезание пружины

Если пружину разрезать на \(n\) равных частей, жёсткость каждой части увеличивается в \(n\) раз:

\[k' = n \cdot k\]

Например, при разрезании пополам (\(n=2\)): \(k' = 2k\), и период уменьшается в \(\sqrt{2}\) раз:

\[T' = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2k}} = \frac{T}{\sqrt{2}}\]

Последовательное и параллельное соединение пружин

Соединение	Жёсткость	Период
Параллельное	\(k_{\text{общ}} = k_1 + k_2\)	Уменьшается
Последовательное	\(\dfrac{1}{k_{\text{общ}}} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2}\)	Увеличивается

Мини-задача

Масса груза \(m = 0{,}4\) кг, жёсткость пружины \(k = 100\) Н/м. Найдите период \(T\) (в с). Считайте \(\pi^2 \approx 10\).

Показать решение

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}4}{100}} = 2\pi\sqrt{0{,}004} = 2\pi \cdot 0{,}063 \approx 0{,}4\) с.

Энергия колебаний

Полная энергия механических колебаний

\[E = \frac{kA^2}{2} = \frac{m\omega^2 A^2}{2}\]

В любой момент времени:

\[E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}} = \text{const}\] \[\frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \frac{kA^2}{2}\]

Проще: энергия перекачивается из потенциальной в кинетическую и обратно, как маятник перекачивает высоту в скорость. Полная энергия не меняется.

Период энергии = T/2 !

Кинетическая и потенциальная энергии изменяются с удвоенной частотой по сравнению со смещением. Период изменения энергии равен половине периода колебаний:

\[T_{\text{энергии}} = \frac{T}{2}\]

Это потому, что \(E_{\text{кин}} = \frac{mv^2}{2} \sim \cos^2(\omega t)\), а \(\cos^2(\omega t) = \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2}\).

Скорость через энергию

Из закона сохранения энергии можно найти максимальную скорость:

\[v_{\max} = A\omega = A\sqrt{\frac{k}{m}}\]

Мини-задача

Пружинный маятник: \(k = 100\) Н/м, \(A = 0{,}05\) м, \(m = 0{,}5\) кг. Найдите \(v_{\max}\) (в м/с). Ответ округлите до сотых.

Показать решение

\(\dfrac{kA^2}{2} = \dfrac{mv_{\max}^2}{2}\), откуда \(v_{\max} = A\sqrt{\dfrac{k}{m}} = 0{,}05 \cdot \sqrt{\dfrac{100}{0{,}5}} = 0{,}05 \cdot \sqrt{200} \approx 0{,}05 \cdot 14{,}14 \approx 0{,}71\) м/с.

Движение по окружности

Равномерное движение по окружности

Равномерное движение по окружности -- тоже периодическое! Тело возвращается в ту же точку через время \(T\).

\[\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu, \quad v = \omega R, \quad T = \frac{2\pi R}{v}\]

Центростремительное ускорение:

\[a_{\text{цс}} = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R\]

Проще: это тоже периодическое движение! Тело возвращается в ту же точку через время \(T\). Проекция равномерного вращения на ось -- это гармоническое колебание.

Связь с гармоническими колебаниями

Если тело движется по окружности радиуса \(R\), то его проекция на любую ось совершает гармонические колебания с амплитудой \(A = R\):

\[x(t) = R\sin(\omega t + \varphi_0)\]

Поэтому все формулы гармонических колебаний работают для проекции кругового движения.

Мини-задача

Тело движется по окружности радиусом \(R = 0{,}5\) м со скоростью \(v = \pi\) м/с. Найдите период обращения \(T\) (в с).

Показать решение

\(T = \dfrac{2\pi R}{v} = \dfrac{2\pi \cdot 0{,}5}{\pi} = \dfrac{\pi}{\pi} = 1\) с.

Колебательный контур LC

Электромагнитные колебания в контуре

Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью \(C\) и катушки индуктивностью \(L\). При идеальном контуре (без сопротивления) заряд и ток изменяются по гармоническому закону:

\[q(t) = q_{\max}\sin(\omega t + \varphi_0)\] \[I(t) = q_{\max}\omega\cos(\omega t + \varphi_0)\]

Максимальный ток:

\[I_{\max} = q_{\max}\omega\]

Проще: конденсатор заряжается-разряжается через катушку. Заряд и ток -- как координата и скорость маятника. Когда заряд максимален, ток равен нулю, и наоборот.

Как работает контур

1

Конденсатор заряжен. Вся энергия в электрическом поле.

2

Конденсатор разряжается через катушку. Ток нарастает.

3

Конденсатор полностью разряжен. Ток максимален. Вся энергия в магнитном поле катушки.

4

Ток перезаряжает конденсатор в обратной полярности.

5

Процесс повторяется в обратном направлении. Один полный цикл -- период \(T\).

Визуализация LC-контура

Наблюдайте перекачку энергии между конденсатором и катушкой.

Мини-задача

Индуктивность катушки \(L = 0{,}01\) Гн, ёмкость конденсатора \(C = 10^{-6}\) Ф. Найдите период колебаний \(T\) (в мс). Считайте \(\pi \approx 3{,}14\).

Показать решение

\(T = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{0{,}01 \cdot 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{10^{-8}} = 2\pi \cdot 10^{-4} \approx 6{,}28 \cdot 10^{-4}\) с \(= 0{,}628\) мс.

Формула Томсона

Период и частота LC-контура

\[T = 2\pi\sqrt{LC}, \quad \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\]

Связь максимального тока и заряда:

\[I_{\max} = q_{\max}\omega = \frac{q_{\max}}{\sqrt{LC}}\]

Проще: больше \(L\) или \(C\) -- медленнее колебания (больше \(T\)). Как тяжелее маятник на более мягкой пружине. Формула Томсона -- аналог \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\), где \(L\) играет роль массы, а \(1/C\) -- роль жёсткости.

Как меняется период при изменении L и C

Что изменили	Как изменился T	Объяснение
\(L\) увеличили в 4 раза	Увеличился в 2 раза	\(T \sim \sqrt{L}\)
\(C\) уменьшили в 9 раз	Уменьшился в 3 раза	\(T \sim \sqrt{C}\)
\(L\) и \(C\) увеличили в 2 раза каждое	Увеличился в 2 раза	\(T \sim \sqrt{L \cdot C}\)
Ввели сердечник (\(L\) растёт)	Увеличился	\(L\) увеличилось
Раздвинули пластины (\(C\) уменьш.)	Уменьшился	\(C\) уменьшилось

Мини-задача

Индуктивность и ёмкость контура увеличили каждую в 2 раза. Во сколько раз изменился период колебаний?

Показать решение

\(T' = 2\pi\sqrt{(2L)(2C)} = 2\pi\sqrt{4LC} = 2 \cdot 2\pi\sqrt{LC} = 2T\). Период увеличился в 2 раза.

Энергия контура

Полная энергия LC-контура

\[W = \frac{CU^2}{2} + \frac{LI^2}{2} = \frac{CU_{\max}^2}{2} = \frac{LI_{\max}^2}{2} = \frac{q_{\max}^2}{2C} = \text{const}\]

Связь максимальных тока и напряжения:

\[I_{\max} = U_{\max}\sqrt{\frac{C}{L}}\]

Проще: энергия перекачивается между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки -- точно как \(E_{\text{пот}} \leftrightarrow E_{\text{кин}}\) в механических колебаниях.

Аналогия энергий

Механика	LC-контур
\(E_{\text{пот}} = \dfrac{kx^2}{2}\)	\(W_{\text{эл}} = \dfrac{CU^2}{2} = \dfrac{q^2}{2C}\)
\(E_{\text{кин}} = \dfrac{mv^2}{2}\)	\(W_{\text{маг}} = \dfrac{LI^2}{2}\)
\(x = 0 \Rightarrow v = v_{\max}\)	\(q = 0 \Rightarrow I = I_{\max}\)
\(x = A \Rightarrow v = 0\)	\(q = q_{\max} \Rightarrow I = 0\)

Мини-задача

Ёмкость конденсатора \(C = 1\) мкФ \(= 10^{-6}\) Ф, максимальное напряжение \(U_{\max} = 100\) В, индуктивность \(L = 0{,}01\) Гн. Найдите максимальный ток \(I_{\max}\) (в А).

Показать решение

\(I_{\max} = U_{\max}\sqrt{\dfrac{C}{L}} = 100\sqrt{\dfrac{10^{-6}}{0{,}01}} = 100\sqrt{10^{-4}} = 100 \cdot 0{,}01 = 1\) А.

Переменный ток

Действующие значения

Действующее (эффективное) значение -- такое постоянное напряжение/ток, которое выделяло бы столько же тепла:

\[U_{\text{д}} = \frac{U_0}{\sqrt{2}}, \quad I_{\text{д}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}\]

Проще: в розетке 220 В -- это действующее значение. Амплитуда \(U_0 = 220\sqrt{2} \approx 311\) В. Вольтметр и амперметр переменного тока показывают именно действующие значения.

Реактивные сопротивления

\[X_C = \frac{1}{\omega C}, \quad X_L = \omega L\]

Полное сопротивление цепи с R, L и C последовательно:

\[Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\]

Резонанс наступает при \(X_L = X_C\), то есть \(\omega L = \dfrac{1}{\omega C}\), откуда \(\omega_{\text{рез}} = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\).

Мощность переменного тока

\[P = U_{\text{д}} I_{\text{д}} \cos\varphi = I_{\text{д}}^2 R\]

Где \(\cos\varphi = R/Z\) -- коэффициент мощности. На чисто реактивном элементе (\(R = 0\)) мощность равна нулю: энергия не рассеивается, а перекачивается туда-сюда.

Трансформатор

\[\frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2} = \frac{I_2}{I_1}\]

Коэффициент трансформации \(K = N_1/N_2\). При \(K > 1\) -- понижающий, при \(K < 1\) -- повышающий.

Мини-задача

Амплитудное значение напряжения \(U_0 = 311\) В. Найдите действующее значение \(U_{\text{д}}\) (в В). Считайте \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\).

Показать решение

\(U_{\text{д}} = \dfrac{U_0}{\sqrt{2}} = \dfrac{311}{1{,}41} \approx 220\) В.

Заряд в магнитном поле

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Заряженная частица, влетающая перпендикулярно линиям магнитного поля, движется по окружности:

\[R = \frac{mv}{qB}, \quad T = \frac{2\pi m}{qB}\]

Проще: заряженная частица крутится по кругу в магнитном поле. ФИШКА: период НЕ зависит от скорости! Быстрая частица крутится по большему кругу, но с тем же временем оборота.

Что от чего зависит

Величина	Зависит от	НЕ зависит от
Радиус \(R\)	\(m, v, q, B\)	--
Период \(T\)	\(m, q, B\)	Скорости \(v\) !

Это ключевой факт: увеличение скорости увеличивает радиус, но не влияет на период обращения.

Если скорость не перпендикулярна полю

Если частица влетает под углом \(\alpha\) к линиям поля, она движется по спирали (винтовой линии):

\[R = \frac{mv\sin\alpha}{qB}, \quad \text{шаг спирали: } h = v\cos\alpha \cdot T = \frac{2\pi m v\cos\alpha}{qB}\]

Мини-задача

Скорость протона в магнитном поле увеличили в 2 раза. Как изменился период обращения?

Показать решение

Период \(T = \dfrac{2\pi m}{qB}\) не зависит от скорости. Ответ: не изменился.

Механические волны

Основные понятия

Волна -- распространение колебаний в среде. Механические волны требуют среду для распространения.

\[v = \lambda\nu = \frac{\lambda}{T}, \quad \lambda = vT\]

Где \(v\) -- скорость волны, \(\lambda\) -- длина волны (расстояние между двумя соседними гребнями), \(\nu\) -- частота.

Проще: длина волны -- расстояние, которое волна проходит за один период. Частица среды колеблется на месте, а вот возмущение бежит дальше.

Типы волн

Тип	Направление колебаний	Где возникает	Пример
Продольная	Вдоль распространения	Газы, жидкости, твёрдые	Звук
Поперечная	Перпендикулярно	Только в твёрдых телах	Волны на струне

Важно: звук -- продольная волна. Звук не распространяется в вакууме.

Звук

Скорость звука в воздухе при нормальных условиях: \(v \approx 340\) м/с.

Диапазон слышимости: \(20\) Гц \(\leqslant \nu \leqslant 20\,000\) Гц.

Ниже 20 Гц -- инфразвук
Выше 20 кГц -- ультразвук

Высота тона определяется частотой, громкость -- амплитудой.

Мини-задача

Скорость звука в воздухе \(v = 340\) м/с. Частота звука \(\nu = 680\) Гц. Найдите длину волны \(\lambda\) (в м).

Показать решение

\(\lambda = \dfrac{v}{\nu} = \dfrac{340}{680} = 0{,}5\) м.

ЭМ волны и шкала

Электромагнитные волны

Электромагнитная волна -- распространение взаимосвязанных электрического и магнитного полей. Не требует среды -- распространяется и в вакууме.

\[c = \lambda\nu = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}\]

Свойства:

Поперечная волна: \(\vec{E} \perp \vec{B} \perp \vec{v}\)
Не требует среды (распространяется в вакууме)
Скорость в вакууме \(c = 3 \cdot 10^8\) м/с для всех частот
Переносит энергию и импульс

Проще: свет, радиоволны, рентген -- всё это ЭМ волны, отличающиеся только длиной волны и частотой.

Шкала электромагнитных волн

Вид излучения	Длина волны	Источники
Радиоволны	от 1 мм до ~10 км	Колебательный контур, антенны
Микроволны (СВЧ)	1 мм -- 30 см	Магнетрон, клистрон
Инфракрасное	780 нм -- 1 мм	Нагретые тела
Видимый свет	380 -- 780 нм	Нагретые тела, лазеры
Ультрафиолет	10 -- 380 нм	Солнце, газовый разряд
Рентгеновское	0,001 -- 10 нм	Рентгеновская трубка
Гамма-излучение	менее 0,001 нм	Ядерные реакции

Запомните: все ЭМ волны имеют одинаковую скорость в вакууме. При увеличении частоты длина волны уменьшается и наоборот: \(\lambda = c/\nu\).

Мини-задача

Радиостанция работает на частоте \(\nu = 100\) МГц. Найдите длину волны \(\lambda\) (в м).

Показать решение

\(\lambda = \dfrac{c}{\nu} = \dfrac{3 \cdot 10^8}{100 \cdot 10^6} = \dfrac{3 \cdot 10^8}{10^8} = 3\) м.

Аналогии мех↔ЭМ

Полная таблица аналогий

Механические и электромагнитные колебания описываются одинаковыми уравнениями. Вот полная таблица соответствий:

Механические колебания	Электромагнитные колебания
\(x\) (смещение)	\(q\) (заряд)
\(v = dx/dt\) (скорость)	\(I = dq/dt\) (ток)
\(m\) (масса)	\(L\) (индуктивность)
\(k\) (жёсткость)	\(1/C\)
\(E_{\text{кин}} = mv^2/2\)	\(W_{\text{маг}} = LI^2/2\)
\(E_{\text{пот}} = kx^2/2\)	\(W_{\text{эл}} = q^2/(2C)\)
\(T = 2\pi\sqrt{m/k}\)	\(T = 2\pi\sqrt{LC}\)
\(\omega = \sqrt{k/m}\)	\(\omega = 1/\sqrt{LC}\)
Трение (затухание)	Сопротивление \(R\) (затухание)
Вынужденная сила	Внешняя ЭДС

Проще: если знаете формулы маятника, замените \(x \to q\), \(v \to I\), \(m \to L\), \(k \to 1/C\) -- и получите формулы LC-контура!

Зачем это нужно на ЕГЭ

На экзамене часто дают задания на установление соответствия между механическими и электромагнитными величинами (задание 14). Эта таблица -- прямой ответ на такие задания.

Также аналогия помогает проверять себя: если формула для контура выглядит непривычно, переведите её в механику и посмотрите, имеет ли она смысл.

Фазовые сдвиги

Фазовые соотношения в колебаниях

Между смещением, скоростью и ускорением существуют сдвиги по фазе на \(\pi/2\):

\[x \xrightarrow{\pi/2} v \xrightarrow{\pi/2} a\]

Момент	\(x\)	\(v\)	\(a\)
x максимально	\(+A\)	\(0\)	\(-a_{\max}\)
x = 0, тело идёт вправо	\(0\)	\(+v_{\max}\)	\(0\)
x минимально	\(-A\)	\(0\)	\(+a_{\max}\)
x = 0, тело идёт влево	\(0\)	\(-v_{\max}\)	\(0\)

Проще: когда \(x\) максимально, скорость равна нулю (тело остановилось в крайней точке). Когда \(x = 0\), скорость максимальна (тело проходит через центр).

Фазовые соотношения в LC-контуре

\[q \xrightarrow{\pi/2} I \xrightarrow{\pi/2} U_L\]

Ток опережает заряд на \(\pi/2\): когда заряд максимален (\(q = q_{\max}\)), ток равен нулю, и наоборот.

Фазы тока и напряжения в цепи переменного тока

Это ключевой вопрос на ЕГЭ!

Элемент	Фазовый сдвиг	Запоминалка
Резистор \(R\)	Ток и напряжение в фазе	R = "разом" (одновременно)
Конденсатор \(C\)	Ток опережает напряжение на \(\pi/2\)	Сначала ток заряжает, потом напряжение растёт
Катушка \(L\)	Ток отстаёт от напряжения на \(\pi/2\)	Катушка "сопротивляется" изменению тока (самоиндукция)

Визуализация фазовых сдвигов

Наблюдайте сдвиги между \(x\), \(v\) и \(a\).

Типичные ошибки

10 главных ловушек

1. Путают зависимости периода

Ошибка: "Период математического маятника зависит от массы"

Правильно: \(T_{\text{мат}} = 2\pi\sqrt{l/g}\) -- только от \(l\) и \(g\). Масса не входит!

Масса важна только для пружинного маятника: \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\)

2. Путают \(\omega\) и \(\nu\)

Ошибка: подставляют \(\nu\) вместо \(\omega\) в формулу \(v_{\max} = A\omega\)

Правильно: \(\omega = 2\pi\nu\). Если дана частота в Гц, сначала переведите!

\(\omega\) -- рад/с, \(\nu\) -- Гц. Между ними множитель \(2\pi\)

3. Период энергии не равен периоду колебаний

Ошибка: "Период изменения кинетической энергии равен T"

Правильно: \(T_{\text{энергии}} = T/2\). Энергия меняется с удвоенной частотой!

4. Забывают, что T заряда в магнитном поле не зависит от v

Ошибка: "Увеличили скорость -- период изменился"

Правильно: \(T = 2\pi m/(qB)\). Скорость влияет только на радиус!

5. Путают \(U_0\) и \(U_{\text{д}}\) переменного тока

Ошибка: "В розетке амплитуда 220 В"

Правильно: 220 В -- действующее значение. Амплитуда \(U_0 = 220\sqrt{2} \approx 311\) В

6. Разрезание пружины: неверный множитель

Ошибка: "Разрезали пружину пополам -- T уменьшился в 2 раза"

Правильно: \(k' = 2k\), поэтому \(T' = T/\sqrt{2}\). Уменьшился в \(\sqrt{2}\) раз!

7. Путают q и I в аналогии

Ошибка: "Ток I аналогичен смещению x"

Правильно: \(x \leftrightarrow q\), \(v \leftrightarrow I\). Ток -- аналог скорости!

8. Неверное направление фазового сдвига на C и L

Ошибка: "На конденсаторе ток отстаёт от напряжения"

Правильно: на C ток ОПЕРЕЖАЕТ напряжение на \(\pi/2\). На L ток ОТСТАЁТ.

9. Звук в вакууме

Ошибка: "Звук распространяется в вакууме"

Правильно: звук -- механическая волна, требует среду. В вакууме распространяются только ЭМ волны!

10. Забывают перевод единиц в формуле Томсона

Ошибка: подставляют мкФ и мГн без перевода в Ф и Гн

Правильно: 1 мкФ = \(10^{-6}\) Ф, 1 мГн = \(10^{-3}\) Гн, 1 пФ = \(10^{-12}\) Ф

Переводите в СИ перед подстановкой!

Банк заданий

Решено: 0/17

#1 Пружинный маятник: удвоение массы

маятник ▼

Период колебаний пружинного маятника \(T = 0{,}5\) с. Массу груза увеличили в 4 раза. Найдите новый период (в с).

Подробное решение

Шаг 1: \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\), значит \(T \sim \sqrt{m}\).

Шаг 2: Масса увеличена в 4 раза: \(T' = T\sqrt{4} = 2T\).

Шаг 3: \(T' = 2 \cdot 0{,}5 = 1\) с.

Ответ: 1 с

#2 Математический маятник на Луне

маятник ▼

Математический маятник на Земле имеет период \(T = 2\) с. Найдите его период на Луне (в с), если \(g_{\text{Л}} = g/6\). Ответ округлите до десятых.

Подробное решение

Шаг 1: \(T \sim 1/\sqrt{g}\), значит \(T_{\text{Л}} = T\sqrt{g/g_{\text{Л}}} = T\sqrt{6}\).

Шаг 2: \(T_{\text{Л}} = 2\sqrt{6} \approx 2 \cdot 2{,}449 \approx 4{,}9\) с.

Ответ: 4,9 с

#3 Скорость при отклонении

колебания ▼

Амплитуда колебаний \(A = 0{,}1\) м, \(\omega = 5\) рад/с. Найдите скорость тела при отклонении \(x = 0{,}06\) м (в м/с).

Подробное решение

Шаг 1: \(v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)\)

Шаг 2: \(v^2 = 25(0{,}01 - 0{,}0036) = 25 \cdot 0{,}0064 = 0{,}16\)

Шаг 3: \(v = 0{,}4\) м/с.

Ответ: 0,4 м/с

#4 LC-контур: найти частоту

контур ▼

\(L = 0{,}1\) Гн, \(C = 10\) мкФ \(= 10^{-5}\) Ф. Найдите циклическую частоту \(\omega\) (в рад/с).

Подробное решение

Шаг 1: \(\omega = 1/\sqrt{LC} = 1/\sqrt{0{,}1 \cdot 10^{-5}}\)

Шаг 2: \(\omega = 1/\sqrt{10^{-6}} = 1/10^{-3} = 1000\) рад/с.

Ответ: 1000 рад/с

#5 Энергия контура

контур ▼

Ёмкость конденсатора \(C = 2\) мкФ, максимальный заряд \(q_{\max} = 4 \cdot 10^{-4}\) Кл. Найдите максимальное напряжение на конденсаторе \(U_{\max}\) (в В).

Подробное решение

Шаг 1: \(U_{\max} = q_{\max}/C\)

Шаг 2: \(U_{\max} = 4 \cdot 10^{-4} / (2 \cdot 10^{-6}) = 200\) В.

Ответ: 200 В

#6 Действующее значение тока

перем. ток ▼

Амплитуда тока в цепи \(I_0 = 4\) А. Найдите действующее значение тока \(I_{\text{д}}\) (в А). Ответ округлите до сотых.

Подробное решение

Шаг 1: \(I_{\text{д}} = I_0/\sqrt{2} = 4/1{,}414\)

Шаг 2: \(I_{\text{д}} \approx 2{,}83\) А.

Ответ: 2,83 А

#7 Маятник в лифте

маятник ▼

Математический маятник имеет период \(T = 2\) с при \(g = 10\) м/с\(^2\). Лифт ускоряется вверх с \(a = 2{,}5\) м/с\(^2\). Найдите новый период (в с). Ответ округлите до сотых.

Подробное решение

Шаг 1: \(g_{\text{эфф}} = g + a = 10 + 2{,}5 = 12{,}5\) м/с\(^2\).

Шаг 2: \(T'/T = \sqrt{g/g_{\text{эфф}}} = \sqrt{10/12{,}5} = \sqrt{0{,}8}\).

Шаг 3: \(T' = 2 \cdot \sqrt{0{,}8} = 2 \cdot 0{,}894 \approx 1{,}79\) с.

Ответ: 1,79 с

#8 Круговое движение

окружность ▼

Тело движется по окружности с периодом \(T = 4\) с и радиусом \(R = 2\) м. Найдите центростремительное ускорение \(a_{\text{цс}}\) (в м/с\(^2\)). Считайте \(\pi^2 \approx 10\).

Подробное решение

Шаг 1: \(\omega = 2\pi/T = 2\pi/4 = \pi/2\) рад/с.

Шаг 2: \(a_{\text{цс}} = \omega^2 R = (\pi/2)^2 \cdot 2 = \pi^2/2 \approx 5\) м/с\(^2\).

Ответ: 5 м/с\(^2\)

#9 Протон в магнитном поле

маг. поле ▼

Протон (\(m = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\) кг, \(q = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\) Кл) движется в магнитном поле \(B = 0{,}1\) Тл. Найдите период обращения (в нс). Считайте \(\pi \approx 3{,}14\).

Подробное решение

Шаг 1: \(T = 2\pi m/(qB) = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27} / (1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}1)\)

Шаг 2: \(T = 6{,}28 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27} / (1{,}6 \cdot 10^{-20})\)

Шаг 3: \(T = 10{,}49 \cdot 10^{-27} / (1{,}6 \cdot 10^{-20}) = 6{,}56 \cdot 10^{-7}\) с \(\approx 656\) нс.

Ответ: 656 нс

#10 Длина волны звука

волны ▼

Частота камертона \(\nu = 440\) Гц. Скорость звука \(v = 340\) м/с. Найдите длину волны (в м). Ответ округлите до сотых.

Подробное решение

Шаг 1: \(\lambda = v/\nu = 340/440\)

Шаг 2: \(\lambda \approx 0{,}77\) м.

Ответ: 0,77 м

#11 Резонанс в RLC

перем. ток ▼

В цепи переменного тока \(L = 0{,}01\) Гн, \(C = 100\) мкФ. Найдите резонансную частоту \(\nu_{\text{рез}}\) (в Гц). Считайте \(\pi \approx 3{,}14\).

Подробное решение

Шаг 1: \(\omega_{\text{рез}} = 1/\sqrt{LC} = 1/\sqrt{0{,}01 \cdot 10^{-4}} = 1/\sqrt{10^{-6}} = 1000\) рад/с.

Шаг 2: \(\nu = \omega/(2\pi) = 1000/6{,}28 \approx 159\) Гц.

Ответ: 159 Гц

#12 Трансформатор

перем. ток ▼

Первичная обмотка трансформатора имеет \(N_1 = 1000\) витков, вторичная \(N_2 = 50\) витков. Напряжение на входе \(U_1 = 220\) В. Найдите напряжение на выходе \(U_2\) (в В).

Подробное решение

Шаг 1: \(U_1/U_2 = N_1/N_2\), откуда \(U_2 = U_1 \cdot N_2/N_1\).

Шаг 2: \(U_2 = 220 \cdot 50/1000 = 11\) В.

Ответ: 11 В

#13 Энергия пружинного маятника

энергия ▼

Полная энергия пружинного маятника \(E = 0{,}2\) Дж, амплитуда \(A = 0{,}04\) м. Найдите жёсткость пружины \(k\) (в Н/м).

Подробное решение

Шаг 1: \(E = kA^2/2\), откуда \(k = 2E/A^2\).

Шаг 2: \(k = 2 \cdot 0{,}2 / 0{,}04^2 = 0{,}4/0{,}0016 = 250\) Н/м.

Ответ: 250 Н/м

#14 Разрезание пружины

маятник ▼

Период пружинного маятника \(T = 1\) с. Пружину разрезали на 3 равные части и к одной подвесили тот же груз. Найдите новый период (в с). Ответ округлите до сотых.

Подробное решение

Шаг 1: При разрезании на 3 части: \(k' = 3k\).

Шаг 2: \(T' = T/\sqrt{3} = 1/\sqrt{3} \approx 1/1{,}732 \approx 0{,}58\) с.

Ответ: 0,58 с

#15 Ёмкостное сопротивление

перем. ток ▼

Конденсатор \(C = 100\) мкФ включён в цепь переменного тока с частотой \(\nu = 50\) Гц. Найдите ёмкостное сопротивление \(X_C\) (в Ом). Считайте \(\pi \approx 3{,}14\).

Подробное решение

Шаг 1: \(\omega = 2\pi\nu = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 50 = 314\) рад/с.

Шаг 2: \(X_C = 1/(\omega C) = 1/(314 \cdot 10^{-4}) = 1/0{,}0314 \approx 31{,}8\) Ом.

Ответ: 31,8 Ом

#16 ЭМ волна: найти частоту

волны ▼

Длина ЭМ волны \(\lambda = 6 \cdot 10^{-7}\) м. Найдите частоту \(\nu\) (в \(10^{14}\) Гц).

Подробное решение

Шаг 1: \(\nu = c/\lambda = 3 \cdot 10^8 / (6 \cdot 10^{-7})\)

Шаг 2: \(\nu = 0{,}5 \cdot 10^{15} = 5 \cdot 10^{14}\) Гц.

Ответ: 5 (в единицах \(10^{14}\) Гц)

#17 LC-контур: заряд и ток

контур ▼

В LC-контуре максимальный заряд \(q_{\max} = 2 \cdot 10^{-6}\) Кл, максимальный ток \(I_{\max} = 0{,}01\) А. Найдите циклическую частоту \(\omega\) (в рад/с).

Подробное решение

Шаг 1: \(I_{\max} = q_{\max}\omega\), откуда \(\omega = I_{\max}/q_{\max}\).

Шаг 2: \(\omega = 0{,}01 / (2 \cdot 10^{-6}) = 10^{-2} / (2 \cdot 10^{-6}) = 5000\) рад/с.

Ответ: 5000 рад/с

Тренажёр

Случайные задачи

Нажмите "Новая задача" для генерации. Решайте на скорость!

Нажмите "Новая задача" для начала.

Верно: 0 | Всего: 0 | Серия: 0

Шпаргалка

Все формулы на одном экране

Гармонические колебания
\(x = A\sin(\omega t + \varphi_0)\)
\(v_{\max} = A\omega\)
\(a_{\max} = A\omega^2\)

Связь T, ν, ω
\(T = 2\pi/\omega\)
\(\nu = 1/T\)
\(\omega = 2\pi\nu\)

Мат. маятник
\(T = 2\pi\sqrt{l/g}\)
Не от \(m\), не от \(A\)

Пруж. маятник
\(T = 2\pi\sqrt{m/k}\)
Не от \(A\), не от \(g\)

Энергия мех.
\(E = kA^2/2\)
\(T_{\text{энергии}} = T/2\)

Окружность
\(T = 2\pi R/v\)
\(a_{\text{цс}} = \omega^2 R\)

Формула Томсона
\(T = 2\pi\sqrt{LC}\)
\(\omega = 1/\sqrt{LC}\)

Энергия контура
\(W = CU^2/2 + LI^2/2\)
\(I_{\max} = U_{\max}\sqrt{C/L}\)

Перем. ток
\(U_{\text{д}} = U_0/\sqrt{2}\)
\(X_C = 1/(\omega C)\)
\(X_L = \omega L\)

Заряд в маг. поле
\(R = mv/(qB)\)
\(T = 2\pi m/(qB)\)
T не от \(v\) !

Волны
\(v = \lambda\nu = \lambda/T\)
\(c = 3 \cdot 10^8\) м/с

Трансформатор
\(U_1/U_2 = N_1/N_2\)
\(P_1 \approx P_2\)

Что от чего НЕ зависит (ловушки ЕГЭ)

Период	НЕ зависит от
\(T_{\text{мат}} = 2\pi\sqrt{l/g}\)	массы, амплитуды
\(T_{\text{пруж}} = 2\pi\sqrt{m/k}\)	амплитуды, \(g\)
\(T_{\text{LC}} = 2\pi\sqrt{LC}\)	заряда, тока, напряжения
\(T_{\text{заряд}} = 2\pi m/(qB)\)	скорости (!), радиуса

Аналогии (быстрая таблица)

Механика	Контур
\(x \to q\)	\(v \to I\)
\(m \to L\)	\(k \to 1/C\)
\(E_{\text{пот}} \to W_{\text{эл}}\)	\(E_{\text{кин}} \to W_{\text{маг}}\)